Question

5．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的右焦點為F，上頂點為A，若直線AF與圓O：${x^2}+{y^2}=\frac{{3{a^2}}}{16}$相切，則該橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$或$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 求得直線AF的方程，利用點到直線的距離公式，利用橢圓離心率公式，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：直線AF的方程為$\frac{x}{c}+\frac{y}=1$，即bx+cy-bc=0，
圓心O到直線AF的距離$d=\frac{{|{-bc}|}}{{\sqrt{{b^2}+{c^2}}}}=\frac{bc}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}a$，
兩邊平方整理得，16（a²-c²）c²=3a⁴，
于是16（1-e²）e²=3，解得${e^2}=\frac{1}{4}$或${e^2}=\frac{3}{4}$．
則e=$\frac{1}{2}$或e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故選：D．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．