Question

某地需要修建一條大型輸油管道通過240公里寬的沙漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程是在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設輸油管道和等距離修建增壓站(又稱泵站)．經預算，修建一個增壓站的工程費用為400萬元，鋪設距離為公里的相鄰兩增壓站之間的輸油管道費用為萬元．設余下工程的總費用為萬元．
(1)試將表示成的函數；
(2)需要修建多少個增壓站才能使最小，其最小值為多少？

Answer 1

（1）y＝＋240x－160(0＜x≤240)；（2）11，9440

解析試題分析：（1）設增加個增壓站，有題意知(k＋1)x＝240，即k＝－1，根據題意將用表示出來，主要定義域；（2）利用基本不等式求出（1）中函數的最小值及取最小值時的值，再利用（1）中與的關系式，求出值.
試題解析：（1)設需要修建k個增壓站，則(k＋1)x＝240，即k＝－1.
所以y＝400k＋(k＋1)(x²＋x)＝400＋(x²＋x)＝＋240x－160.   5分
因為x表示相鄰兩增壓站之間的距離，則0＜x≤240.
故y與x的函數關系是y＝＋240x－160(0＜x≤240)．      7分
(2)y＝＋240x－160≥2－160＝2×4 800－160＝9 440.   9分
當且僅當＝240x，即x＝20時取等號．           10分
此時，k＝－1＝－1＝11.                  11分
故需要修建11個增壓站才能使y最小，其最小值為9 440萬元．     12分
考點：函數的綜合應用；基本不等式；運算求解能力；應用意識