Question

設函數.
（1）若,試求函數的單調區間；
（2）過坐標原點作曲線的切線，證明:切點的橫坐標為1；
（3）令，若函數在區間（0，1］上是減函數，求的取值范圍.

Answer 1

（1）的減區間為,增區間
（2）導數的幾何意義的運用，理解切線的斜率即為該點的導數值既可以得到求證。
（3）

試題分析：解: （1）時,          1 分
                   3分

的減區間為,增區間                 5分
（2）設切點為，
切線的斜率，又切線過原點
           7分
滿足方程，由圖像可知
有唯一解，切點的橫坐標為1；              -8分
或者設,
,且,方程有唯一解         -9分
（3），若函數在區間（0，1］上是減函數，
則，所以---（*） 10分


若，則在遞減，
即不等式恒成立                11分
若,
在上遞增,

,即,上遞增,
這與,矛盾               13分
綜上所述,                                    14分
解法二: ，若函數在區間（0，1］上是減函數，
則，所以 10分
顯然,不等式成立
當時,恒成立            11分
設
設
在上遞增, 所以         12分
在上遞減,
所以             14分
點評：主要是考查了導數在研究函數中的運用，屬于中檔題。