Question

【題目】已知橢圓的兩焦點為，，且橢圓上一點，滿足，直線與橢圓交于、兩點，與軸、軸分別交于點、，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，且，求的值；

（3）當△面積取得最大值，且點在橢圓上時，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）3（3）

【解析】

（1）根據橢圓定義焦點坐標計算基本量即可得解；

（2）根據已知條件結合弦長公式求得m，得出三點坐標，利用線段長度公式得解；

（3）聯立直線與橢圓方程，結合韋達定理表示出三角形面積，根據基本不等式求最值，即可得到此時的值.

（1）由題意可得，∴橢圓方程為

（2）由題意得，此時直線方程為，將其代入橢圓方程整理可得

，其中

設，則

∴，由橢圓具有對稱性，

∴不妨取，則，∴

（3）將直線方程代入橢圓方程整理可得，其中

，設，

則，

∴

原點到直線的距離，

∴，

當且僅當時等號成立，

又代入橢圓方程可得，

其中，，

∴整理得

再將代入，

整理得，

，

整理得，.