Question

【題目】已知函數.

（1）函數，討論的單調性；

（2）曲線在點處的切線為，是否存在這樣的點使得直線與曲線也相切，若存在，判斷滿足條件的點的個數，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在，有且只有兩個

【解析】

（1）利用導數的運算法則得出，分，，，討論單調性，分別解出與的區間即可得出單調區間．

（2）先求直線為函數的圖象上一點處的切線方程，再設直線與的圖象也相切，切點為，進而可得，再判斷方程在區間上有且只有兩個實數根．

（1）因為：，

所以：.

所以：①當時：在上為減函數，在為增函數；

②當時：在上為增函數，在上為減函數，在上為增函數；

③當時：在上為增函數；

④當時：在上為增函數，在上為減函數，在上為增函數.

（2）設.

因為：，所以：.

所以直線的方程為：，即：①.

假設直線與的圖象也相切，切點為：.

因為，所以.

所以直線的方程也可以寫作為：.

又因為，即：.

所以直線的方程為：，即：②.

由①②有：，即：.

令，

所以.

令，得：，

所以在遞減，在遞增.

所以，

又因為當時，；當時，.

所以在有且只有兩個實數根.

所以，存在這樣的點使得直線與函數的圖象也相切，這樣的點有且只有兩個.