Question

【題目】已知橢圓與軸正半軸交于點，與軸交于、兩點.

（1）求過、、三點的圓的方程；

（2）若為坐標原點，直線與橢圓和（1）中的圓分別相切于點和點（、不重合），求直線與直線的斜率之積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出、、三點的坐標，求得圓心的坐標，進而求出圓的半徑，由此可求得圓的方程；

（2）設直線的方程為（存在且），將直線的方程與橢圓的方程聯立，由可得，由直線與圓相切可得出，進而可得出，求出直線與直線的斜率，進而可求得結果.

（1）由題意可得、、，則圓心在軸上，設點，

由，可得，解得，圓的半徑為.

因此，圓E的方程為；

（2）由題意：可設的方程為（存在且），

與橢圓聯立消去可得，

由直線與橢圓相切，可設切點為，由，

可得，解得，，

由圓與直線相切，即，可得.

因此由，可得，

直線的斜率為，直線的斜率，

綜上：.