Question

【題目】為了解學生寒假閱讀名著的情況，一名教師對某班級的所有學生進行了調查，調查結果如下表：

本數 人數 性別	0	1	2	3	4	5
男生	0	1	4	3	2	2
女生	0	0	1	3	3	1

（I）從這班學生中任選一名男生，一名女生，求這兩名學生閱讀名著本數之和為4的概率；
（II）若從閱讀名著不少于4本的學生中任選4人，設選到的男學生人數為 X，求隨機變量 X的分布列和數學期望；
（III）試判斷男學生閱讀名著本數的方差 與女學生閱讀名著本數的方差 的大小（只需寫出結論）．

Answer 1

【答案】解：（I）全班有12個男生，8個女生，
所以男、女各選1人的方法數m=12×8=96
而這兩名學生閱讀名著本數之和為4的方法數n=1×3+4×1=7，
所以這兩名學生閱讀名著本數之和為4的概率為p=
（II）由已知隨機變量 X的可能的取值有0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P

∴X的數學期望為
（III）
【解析】（I）全班有12個男生，8個女生，由此求出男、女各選1人的方法數，再求出這兩名學生閱讀名著本數之和為4的方法數，由此能求出這兩名學生閱讀名著本數之和為4的概率．（II）由已知隨機變量 X的可能的取值有0，1，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數學期望．（III）利用調查表能判斷男學生閱讀名著本數的方差 與女學生閱讀名著本數的方差 的大小．
【考點精析】本題主要考查了極差、方差與標準差和離散型隨機變量及其分布列的相關知識點，需要掌握標準差和方差越大，數據的離散程度越大；標準差和方程為0時，樣本各數據全相等，數據沒有離散性；方差與原始數據單位不同，解決實際問題時，多采用標準差；在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能正確解答此題．