Question

已知函數，。
（1）求函數的解析式；
（2）若對于任意，都有成立，求實數的取值范圍；
（3）設，，且，求證：。

Answer 1

（1），（2），（3）詳見解析

試題分析：（1）本題中的參數為，利用導函數構造關于的方程. 因為，所以，，故，（2）不等式恒成立問題，往往轉化為最值問題，即，本題實質求函數在上最大值. 因為，所以，因此當時單調增，當時單調減，所以當時，，從而.（3）證明不等式先要觀察其結構特點，原不等式結構雖對稱，但不可分離，需要適當變形.利用，將原不等式等價變形為，即
利用（II）結論，
=0
試題解析：（1）解：因為，所以。
令，得，所以。              3分
（2）解：設，
則，令，解得。
當變化時，與的變化情況如下表：

	（0，1）	1
	＋	0	－
		極大值

所以當時，。
因為對于任意，都有成立，
所以。                                          7分
（3）證明：由（II），得，即，
令，得，
令，得，
所以

因為，
所以，
即，
所以，
即，
所以。                  12分