Question

【題目】設橢圓：的左右焦點分別為，，過點的直線與交于點，. 若，且，則的離心率為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

由題意畫出圖形，由|PF2|＝|F1F2|，3|PF1|＝4|QF1|，利用橢圓的定義可得：|PF1|＝2a﹣2c，進一步求出|QF1|，|QF2|，在等腰△PF1F2中，求得得cos∠PF1F2．在△QF1F2中，由余弦定理可得cos∠QF1F2，利用cos∠PF1F2+cos∠QF1F2＝0，化簡求得5a＝7c，兩邊平方后結合隱含條件求得的值，則C的離心率可求．

如圖所示，

∵|PF2|＝|F1F2|，

∴|PF2|＝2c，則|PF1|＝2a﹣2c．

∵3|PF1|＝4|QF1|，

∴|QF1|（2a﹣2c）（a﹣c），

則|QF2|＝2a（a﹣c）c．

在等腰△PF1F2中，可得cos∠PF1F2．

在△QF1F2中，由余弦定理可得：，

由cos∠PF1F2+cos∠QF1F2＝0，得0，

整理得：，∴5a＝7c，

則25a2＝49c2＝49（a2﹣b2），

∴．

則．

故選：A．