【題目】如圖，曲線
是以原點O為中心、
為焦點的橢圓的一部分，曲線
是以O為頂點、
為焦點的拋物線的一部分，A是曲線和的交點且
為鈍角，若
，
.
（1）求曲線和的方程；
（2）過作一條與
軸不垂直的直線，分別與曲線
依次交于B、C、D、E四點，若G為CD中點、H為BE中點，問
是否為定值？若是求出定值；若不是說明理由.
【答案】（1）橢圓方程為
，拋物線方程為
； （2）見解析。
【解析】
（1）因為在橢圓中2a＝|AF1|+|AF2|
6，所以可求曲線C1方程．因為曲線C2是以O為頂點、F2為焦點的拋物線的一部分，A是曲線C1和C2的交點．|AF1|
，|AF2|
，所以利用拋物線定義，可求曲線C2方程；
（2）先設出B、C、D、E四點坐標，過F2作的與x軸不垂直的直線方程，在分別與橢圓方程，拋物線方程聯立，利用根與系數關系，求
的值，看結果是否為定值．
（1）設橢圓方程為
，則
，得
設
，
，
則
，
，
兩式相減得
，由拋物線定義可知
，
則
，
或
，
（舍去）
所以橢圓方程為，拋物線方程為。
另解：過
作垂直于x軸的直線
，即拋物線的準線，作AH垂直于該準線，
作
軸于
，則由拋物線的定義得
，
所以
，
，得
，所以c＝1，
，
所以橢圓方程為，拋物線方程為。
（2）設
，
，
，
，
直線
，代入得，
，即
，
則
，
同理，將
代入得：
，
則
，
，
所以
為定值.
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【題目】如圖，曲線
是以原點O為中心、
為焦點的橢圓的一部分，曲線
是以O為頂點、
為焦點的拋物線的一部分，A是曲線和的交點且
為鈍角，若
，
.
（1）求曲線和的方程；
（2）過作一條與
軸不垂直的直線，分別與曲線
依次交于B、C、D、E四點，若G為CD中點、H為BE中點，問
是否為定值？若是求出定值；若不是說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，公園里有一湖泊，其邊界由兩條線段
和以
為直徑的半圓弧
組成，其中
為2百米，
為
．若在半圓弧，線段，線段
上各建一個觀賞亭
，再修兩條棧道
，使
. 記
．
（1）試用
表示
的長；
（2）試確定點
的位置，使兩條棧道長度之和最大.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，MN分別是邊長為1的正方形ABCD的邊BCCD的中點，將正方形沿對角線AC折起，使點D不在平面ABC內，則在翻折過程中，有以下結論:
①異面直線AC與BD所成的角為定值.
②存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直.
③存在某個位置，使得直線MN與平面ABC所成的角為45°.
④三棱錐M-ACN體積的最大值為
.
以上所有正確結論的序號是__________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F分別是B1C1，AB，AA1的中點.
(1) 求證：EF∥平面A1BD；
(2) 若A1B1＝A1C1，求證：平面A1BD⊥平面BB1C1C.
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【題目】某農場有一塊等腰直角三角形的空地
，其中斜邊
的長度為400米.為迎接“五一”觀光游，欲在邊界上選擇一點
，修建觀賞小徑
，其中
分別在邊界
上，小徑與邊界的夾角都為
.區域
和區域
內種植郁金香，區域
內種植月季花.
（1）探究：觀賞小徑
與
的長度之和是否為定值？請說明理由；
（2）為深度體驗觀賞，準備在月季花區域內修建小徑
，當點在何處時，三條小徑
的長度和最小？
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