Question

【題目】如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形，AB＝AC＝1，BB1＝2，∠ABB1＝60°.

(I) 證明：AB⊥平面AB1C；

(II) 若B1C＝2，求AC1與平面BCB1所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(I)詳見解析(II)

【解析】

（Ⅰ）連結AB1，在△ABB1中，由余弦定理得求出AB1，通過計算勾股定理證明AB1⊥AB，以及證明AC⊥AB，推出AB⊥平面AB1C．得到AB⊥B1C．

（Ⅱ）以A為原點，以的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，求出平面BCB1的法向量，利用向量的數量積求解AC1與平面BCB1所成角的正弦值．

(I)證明:連接AB1，在△ABB1中，AB＝1，BB1＝2，∠ABB1＝60°，

由余弦定理得，AB＝AB2＋BB－2AB·BB1·cos∠ABB1＝3，

∴AB1＝，∴BB＝AB2＋AB，

∴AB1⊥AB.

又△ABC為等腰直角三角形，且AB＝AC，

∴AC⊥AB，∵AC∩AB1＝A，

∴AB⊥平面AB1C.

(II)解:∵AB1＝，AB＝AC＝1，B1C＝2，

∴B1C2＝AB＋AC2，∴AB1⊥AC.

如圖，以A為原點，以，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則A(0，0，0)，B1(0，0，)，

B(1，0，0)，C(0，1，0)，

∴＝(－1，0，)，

＝(－1，1，0).

設平面BCB1的一個法向量為n＝(x，y，z)，

由得令z＝1，得x＝y＝，

∴平面BCB1的一個法向量為n＝(，，1).

∵＝＋＝＋＝(0，1，0)＋(－1，0，)＝(－1，1，)，

∴cos〈，n〉＝＝＝，

∴AC1與平面BCB1所成角的正弦值為.