Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點為F₁，F₂，過F₂作x軸的垂線與C相交于A，B兩點，F₁B與y軸相交于點D，若AD⊥F₁B，則橢圓C的離心率等于

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據條件分別求出A，B，D的坐標，利用AD⊥F₁B，建立方程關系即可得到結論．

解答： 解：連接AF₁，∵OD∥AB，O為F₁F₂的中點，
∴D為BF₁的中點，
又AD⊥BF₁，∴|AF₁|=|AB|．
∴|AF₁|=2|AF₂|．
設|AF₂|=n，則|AF₁|=2n，|F₁F₂|=

3

n，
∴e=

c

a

=

|F1F2|

|AF1|+|AF2|

=

3 n

3n

=

3

3

．

點評：本題主要考查橢圓離心率的求解，根據條件求出對應點的坐標，利用直線垂直與斜率之間的關系是解決本題的關鍵，運算量較大．為了方便，可以先確定一個參數的值．