Question

在平面直角坐標系中，O為原點，A（-1，0），B（0，

3

），C（3，0），動點D滿足|

CD

|=1，則|

OA

+

OB

+

OD

|的取值范圍是（　　）

• A、[4，6]
• B、[

  19

  -1，

  19

  +1]
• C、[2

  3

  ，2

  7

  ]
• D、[

  7

  -1，

  7

  +1]

Answer 1

考點：向量的加法及其幾何意義

專題：平面向量及應用

分析：由于動點D滿足|

CD

|=1，C（3，0），可設D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．再利用向量的坐標運算、數量積性質、模的計算公式、三角函數的單調性即可得出．

解答： 解：∵動點D滿足|

CD

|=1，C（3，0），
∴可設D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．
又A（-1，0），B（0，

3

），
∴

OA

+

OB

+

OD

=(2+cosθ，

3

+sinθ)．
∴|

OA

+

OB

+

OD

|=

(2+cosθ)2+( 3 +sinθ)2

=

8+4cosθ+2 3 sinθ

=

8+2 7 sin(θ+φ)

，（其中sinφ=

2

7

，cosφ=

3

7

）
∵-1≤sin（θ+φ）≤1，
∴(

7

-1)2=8-2

7

≤8+2

7

sin（θ+φ）≤8+2

7

=(

7

+1)2，
∴|

OA

+

OB

+

OD

|的取值范圍是[

7

-1，

7

+1]．
故選：D．

點評：本題考查了向量的坐標運算、數量積性質、模的計算公式、三角函數的單調性等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．