Question

已知．
（1）若存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若,求證：當(dāng)時，恒成立；
（3）利用（2）的結(jié)論證明：若，則.

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見試題解析；（3）證明過程詳見試題解析.

試題分析：（1）當(dāng)時，∴. ∵ 有單調(diào)減區(qū)間，∴有解.分兩種情況討論有解.可得到的取值范圍是；（2）此問就是要證明函數(shù)在上的最大值小于或等于，經(jīng)過求導(dǎo)討論單調(diào)性得出當(dāng)時，有最大值，命題得證；（3）利用（2）的結(jié)論，將此問的不等關(guān)系，轉(zhuǎn)化成與（2）對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行證明.
試題解析：（1）當(dāng)時，
∴. 
∵ 有單調(diào)減區(qū)間，∴有解，即
∵ ，∴ 有解.
（ⅰ）當(dāng)時符合題意；
（ⅱ）當(dāng)時，△，即。
∴的取值范圍是.
（2）證明：當(dāng)時，設(shè)，
∴ .
∵，
討論的正負(fù)得下表：
 
∴當(dāng)時有最大值0.
即恒成立.
∴當(dāng)時，恒成立.
（3）證明：∵，
∴
 

 
由（2）有
∴.