Question

已知函數(shù)
（1）求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若存在，使得是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，解不等式，其解集和定義域求交集，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，該題中，不等式不易解出，但是可觀察到當(dāng)且時(shí)恒成立，故函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞增；（2）由題知只需，即
問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在的值域問題，觀察得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，最大值為中的較大者，進(jìn)而得關(guān)于的不等式，再考慮不等式的解集即為實(shí)數(shù)的取值范圍.
試題解析：⑴．
，所以在上是增函數(shù)，
又，所以不等式的解集為，
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
⑶因?yàn)榇嬖?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824025134546525.png" style="vertical-align:middle;" />，使得成立，
而當(dāng)時(shí)，，
所以只要即可．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824025134640262.png" style="vertical-align:middle;" />，，的變化情況如下表所示：

	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，的最小值
，的最大值為和中的最大值．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240251349671538.png" style="vertical-align:middle;" />，
令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240251349991067.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以在上是增函數(shù)．
而，故當(dāng)時(shí)，，即；
所以，當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)在上是增函數(shù)，解得；