Question

?x∈[0，

3

4

π]，sinx-cosx-ax+1≥0恒成立，則實數a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：全稱命題

專題：函數的性質及應用,簡易邏輯

分析：設g（x）=sinx+1-ax-cosx，求g′（x），討論函數在區(qū)間[0，

3π

4

]上的單調性，利用函數的單調性求g（x）的最小值，根據最小值大于等于0確定a的范圍．

解答： 解：設g（x）=sinx+1-ax-cosx，g′（x）=cosx-a+sinx=

2

sin（x+

π

4

）-a．
∵x∈[0，

3π

4

]，∴

2

sin（x+

π

4

）∈[0，

2

]．
當a≤0時，g′（x）≥0在[0，

3π

4

]上恒成立，
∴g（x）≥g（x）_min=g（0）=0成立，故a≤0；
當a≥

2

時，g′（x）≤0在[0，

3π

4

]上恒成立，
∴g（x）≥g（

3π

4

）=

2

+1-

3π

4

a≥0，得a≤

4+4 2

3π

，無解．
當0＜a＜

2

時，則存在x₀∈（0，π]使得x∈（0，x₀）時，g（x）是增函數，x∈（x₀，

3π

4

]時，g（x）是減函數，
故g（x）_min=g（0），或g（x）_min=g（

3π

4

），
∴

g(0)≥0 g( 3π 4 )≥0

⇒0＜a≤

4+4 2

3π

，
綜上所述：a≤

4+4 2

3π

．

點評：本題借助全稱命題考查了三角函數的最值的求法，導數的應用及恒成立問題的解法，利用導函數分類求得不等式恒成立的條件是解答本題的關鍵．