Question

10、設奇函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，且f（1）=0，則不等式x[（f（x）-f（-x）]＜0的解集為

（-1，0）∪（0，1）

．

Answer 1

分析：由函數奇偶性的性質，我們根據已知中奇函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，且f（1）=0，易判斷函數f（x）在（-∞，0），（0，1），（-1，0），（0，+∞）上的符號，進而得到不等式x[（f（x）-f（-x）]＜0的解集．

解答：解：若奇函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，
則函數f（x）在（-∞，0）上也為增函數，
又∵f（1）=0
∴f（-1）=0
則當x∈（-∞，0）∪（0，1）上時，f（x）＜0，f（x）-f（-x）＜0
當x∈（-1，0）∪（0，+∞）上時，f（x）＞0，f（x）-f（-x）＞0
則不等式x[（f（x）-f（-x）]＜0的解集為（-1，0）∪（0，1）
故答案為：（-1，0）∪（0，1）

點評：本題考查的知識點是奇偶性與單調性的綜合應用，其中奇函數在對稱區間上單調性相同，是解答本題的關鍵．