Question

如果設(shè)奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且f（2）=0，則不等式

f(x)-f(-x)

x

＜0的解集為（　　）

A．（-2，0）∪（2，+∞）

B．（-∞，-2）∪（0，2）

C．（-∞，-2）∪（2，+∞）

D．（-2，0）∪（0，2）

Answer 1

分析：由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，可得不等式即

2f(x)

x

＜0，即 x和f（x）異號，故有

x＞0 f(x)＜0

，或

x＜0 f(x)＞0

；再結(jié)合函數(shù)f（x）的單調(diào)性示意圖可得x的范圍．

解答：解：由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，可得不等式即

2f(x)

x

＜0，即 x和f（x）異號，
故有  

x＞0 f(x)＜0

，或 

x＜0 f(x)＞0

．
再由f（2）=0，可得f（-2）=0，
由函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，可得函數(shù)f（x）在（-∞，0）上也為增函數(shù)，
結(jié)合函數(shù)f（x）的單調(diào)性示意圖可得，-2＜x＜0，或 0＜x＜2，
故選 D．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．