Question

設奇函數f（x）在[-1，1]上是增函數，且f（-1）=-1，若函數f（x）≤t²-2at+1對所有的x∈[-1，1]都成立，則當a∈[-1，1]時，t的取值范圍是（　　）

• A、-2≤t≤2
• B、-

  1

  2

  ≤t≤

  1

  2

• C、t≥2或t≤-2或t=0
• D、t≥

  1

  2

  或t≤-

  1

  2

  或t=0

Answer 1

分析：奇函數f（x）在[-1，1]上是增函數，且f（-1）=-1，在[-1，1]最大值是1，由此可以得到1≤t²-2at+1，因其在a∈[-1，1]時恒成立，可以改變變量，以a為變量，利用一次函數的單調性轉化求解．

解答：解：奇函數f（x）在[-1，1]上是增函數，且f（-1）=-1，在[-1，1]最大值是1，
∴1≤t²-2at+1，
當t=0時顯然成立
當t≠0時，則t²-2at≥0成立，又a∈[-1，1]
令r（a）=-2ta+t²，a∈[-1，1]
當t＞0時，r（a）是減函數，故令r（1）≥0，解得t≥2
當t＜0時，r（a）是增函數，故令r（-1）≥0，解得t≤-2
綜上知，t≥2或t≤-2或t=0
故選C．

點評：本題是一個恒成立求參數的問題，此類題求解的關鍵是解題中關系的轉化，本題借助單調性確定最值進行轉化，這是不等式型恒成立問題常用的轉化技巧．