Question

【題目】已知等差數列{an}的各項均為正數，且Sn= + +…+ ，S2= ，S3= ．設[x]表示不大于x的最大整數（如[2.10]=2，[0.9]=0）．
（1）試求數列{an}的通項；
（2）求T=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2（ ﹣1）]+[log2（ ）]關于n的表達式．

Answer 1

【答案】
（1）解：Sn= + +…+ = （ ﹣ ），

∵S2= ，S3= ，

∴ （ ﹣ ）= ， （ ﹣ ）= ，

∴a1=1，d=1，

∴an=n

（2）解：T=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2（ ﹣1）]+[log2（ ）]

=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2（2n﹣1）]+[log2（2n）]

∵[log21]=0，

[log22]=[log23]=1，

…

[log22m]=[log2（m+1）]=…=[log2（m+1﹣1）]=m．

∴[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2（2n﹣1）]+[log2（2n）]=0+1×2+2×22+…+（n﹣1）2n﹣1+n，

由S=1×2+2×22+…+（n﹣1）2n﹣1，

則2S=1×22+2×23+…+（n﹣1）2n，

∴﹣S=1×2+1×22+…+2n﹣1﹣（n﹣1）2n= ﹣（n﹣1）2n，

∴S=（2﹣n）2n﹣2

∴T=（2﹣n）2n﹣2+n

【解析】（1）利用裂項法求和，結合S2= ，S3= ，即可求數列{an}的通項；（2）先化簡，再利用錯位相減法，即可得出結論．