Question

如圖1，在直角梯形中，AD//BC, =90⁰，BA="BC" 把ΔBAC沿折起到的位置,使得點在平面ADC上的正投影O恰好落在線段上，如圖2所示，點分別為線段PC，CD的中點．

(I) 求證：平面OEF//平面APD；
(II)求直線CD與平面POF；
(III)在棱PC上是否存在一點,使得到點P,O,C,F四點的距離相等？請說明理由.

Answer 1

(I) (II)詳見解析； (III)存在點M滿足條件．

試題分析：(I) 要證平面OEF//平面APD ，只需借助所給中點，證明、即可； (II) 借助底面為直角梯形及可得，另由已知可得：平面，進而可得，從而可證平面；(III)記點為，證明即可．
試題解析：（I）因為點在平面上的正投影恰好落在線段上
所以平面，所以                         2分
因為，
所以是中點，                                        3分
所以                                             4分
同理
又
所以平面平面；                                6分
（II）因為，
所以                                             7分
又平面，平面
所以                                             8分
又
所以平面；                                      10分
(III)存在，事實上記點為即可                            11分
因為平面，平面
所以
又為中點，所以                            12分
同理，在直角三角形中，，        13分
所以點到四個點的距離相等．                     14分