Question

如圖，已知矩形中，為的中點，沿將三角形折起，使.
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）取中點H，先證明垂直于平面,進而證明平面；（Ⅱ）建立直角坐標系，構造向量,平面的法向量，利用公式求解.
試題解析：（Ⅰ）∵在矩形中，為的中點，
∴為等腰直角三角形，
∴,即.                （1分）
取中點H，連結，則，
在中，,
在中，又，
               （2分）
又                 （3分）
∴面，                   （4分）
而平面，                  （5分）
∴平面⊥平面.                 （6分）
（Ⅱ）解：分別以直線為x軸和y軸，O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，.
∴ （7分）
設平面的一個法向量為
由得
即令則，
取                       （9分）
設為直線與平面所成的角，
則               （11分）
即直線與平面所成角的正弦值為        （12分）