Question

設f(x)是定義在區間(1，＋∞)上的函數，其導函數為f′(x)．如果存在實數a和函數h(x)，其中h(x)對任意的x∈(1，＋∞)都有h(x)＞0，使得f′(x)＝h(x)(x²－ax＋1)，則稱函數f(x)具有性質P(a)．
(1)設函數f(x)＝ln x＋ (x＞1)，其中b為實數．
①求證：函數f(x)具有性質P(b)；
②求函數f(x)的單調區間；
(2)已知函數g(x)具有性質P(2)．給定x₁，x₂∈(1，＋∞)，x₁＜x₂，設m為實數，α＝mx₁＋(1－m)x₂，β＝(1－m)x₁＋mx₂，且α＞1，β＞1，若|g(α)－g(β)|＜|g(x₁)－g(x₂)|，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）當b≤2時，函數f(x)的單調增區間為(1，＋∞)；
當b＞2時，函數f(x)的單調減區間為(1，)，單調增區間為(，＋∞)．
（2）(0,1)

解析