設函數
．
（1） 當
時，求函數
的極值；
（2）若
，證明：在區間
內存在唯一的零點；
（3）在（2）的條件下，設
是在區間內的零點，判斷數列
的增減性.
（1）極大值
，無極小值；（2）詳見解析；（3）數列是單調遞減.
解析試題分析：（1）當時，函數
，于是可利用導數研究函數的單調性與極值；
（2）當時，
要證在區間內存在唯一的零點，只要證在區間內單調且
即可；
（3）先求
和
，再根據
得到
，結合（2）的結論：函數在區間內是單調遞增的，從而得到
，結論得證.
解：（1）由已知，得：
由
得：
當
時，
單調遞增
當
時，
單調遞減
所以是函數的極大值點，無極小值點
故的極大值為
，無極小值.
（2）由已知，得：
∴易得：
于是在區間內存在零點；
又當
時，
恒成立
∴函數在區間內是單調遞增的
故在區間內存在唯一的零點． （8分）
解:（3）：數列是單調遞減的. 理由如下： （9分）
由（2）設 
是在內唯一的零點，
則
又
，
于是
即
由（2）在上是單調遞增的，
∴當
時，．
故數列是單調遞減的. （14分）
考點：1、函數的零點存在性的判斷；2、導數在研究函數性質中的應用；3、利用函數的思想解決數列的單調性問題.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設f(x)是定義在區間(1，＋∞)上的函數，其導函數為f′(x)．如果存在實數a和函數h(x)，其中h(x)對任意的x∈(1，＋∞)都有h(x)＞0，使得f′(x)＝h(x)(x2－ax＋1)，則稱函數f(x)具有性質P(a)．
(1)設函數f(x)＝ln x＋
(x＞1)，其中b為實數．
①求證：函數f(x)具有性質P(b)；
②求函數f(x)的單調區間；
(2)已知函數g(x)具有性質P(2)．給定x1，x2∈(1，＋∞)，x1＜x2，設m為實數，α＝mx1＋(1－m)x2，β＝(1－m)x1＋mx2，且α＞1，β＞1，若|g(α)－g(β)|＜|g(x1)－g(x2)|，求m的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知二次函數
的圖像過點
和
，直線
，直線
（其中
，
為常數）；若直線
與函數
的圖像以及直線
與函數以及的圖像所圍成的封閉圖形如陰影所示.
（1）求
；
（2）求陰影面積
關于的函數
的解析式；
（3）若過點
可作曲線
的三條切線，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
（
R），
為其導函數，且
時
有極小值
．
（1）求
的單調遞減區間；
（2）若
，
，當
時，對于任意x，
和
的值至少有一個是正數，求實數m的取值范圍；
（3）若不等式
（
為正整數）對任意正實數
恒成立，求的最大值．
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，已知曲線
在點
處的切線方程是
．
的值；并求出函數的單調區間；
在區間
上的最值．
（
為常數，
是自然對數的底數）.
時，求函數
的單調區間；
內存在兩個極值點，求
，
．若
的值；
的單調區間及極值．
，
，其中
為實數,若
在
上是單調減函數，且
在
．
在
時取得極值，求實數
的值；
對任意
恒成立，求實數