Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上一點，且垂直于軸，連結并延長交橢圓于另一點，設.

（1）若點的坐標為，求橢圓的方程及的值；

（2）若，求橢圓的離心率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）把的坐標代入方程得到，結合解出后可得標準方程.求出直線的方程，聯立橢圓方程和直線方程后可求的坐標，故可得的值.

（2）因，故可用表示的坐標，利用它在橢圓上可得與的關系，化簡后可得與離心率的關系，由的范圍可得的范圍.

（1）因為垂直于軸，且點的坐標為，

所以，，

解得，，所以橢圓的方程為.

所以，直線的方程為，

將代入橢圓的方程，解得，

所以.

（2）因為軸，不妨設在軸上方，，.設，因為在橢圓上，所以，解得，即.

（方法一）因為，由得，，，解得，，所以.

因為點在橢圓上，所以，即，所以，從而.

因為，所以.

解得，

所以橢圓的離心率的取值范圍.