Question

【題目】已知函數.

（1）若，求函數的極值；

（2）若在區間內有唯一的零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）極小值，無極大值.（2）

【解析】分析：⑴當時，化簡函數的解析式，求出定義域，函數的導數，求出極值點，利用導函數的符號判斷函數的單調性，求解極值即可

⑵法一：利用，通過導函數為，構造新函數，通過分類討論求解即可

法二：令，由，得，設，則，，問題轉化為直線與的圖象在恰有一個交點問題，即可求出的取值范圍

詳解：（1）當時，，，

，

由，令，得，

當變化時，，的變化如下表：

	-	0	+
	↘	極小值	↗

故函數在單調遞減，在單調遞增，有極小值，無極大值.

（2）解法一：

，

令，得，設，

則在有唯一的零點等價于在有唯一的零點，

當時，方程的解為，滿足題意；

當時，由函數的圖象的對稱軸，函數在上單調遞增，且，，所以滿足題意；

當，時，，此時方程的解為，不符合題意；

當，時，由，只需，得，

綜上，.

解法二：

，

令，由，得，

設，則，，

問題轉化為直線與的圖象在恰有一個交點問題，

又當時，單調遞增，

故直線與函數的圖象恰有一個交點，當且僅當.