Question

【題目】在長方體中，，是棱上的一點．

（1）求證：平面；

（2）求證：；

（3）若是棱的中點，在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）當點是棱的中點時，有平面．

【解析】

試題分析：（1）由平面，可得，在矩形中，可證得，根據線面垂直的判定定理即可證得平面；（2）由（1）可知，平面，根據線面垂直的性質可得；（3）假設點是棱的中點時，有平面，在上取中點，連接，，根據線面平行的性質定理可得四邊形是平行四邊形，所以．

試題解析：（1）證明：在長方體中，

因為平面，平面，所以．

在矩形中，

因為，

所以，

因為，

所以平面．

（2）證明：因為，所以平面，

由（1）可知，平面，

所以．

（3）解：當點是棱的中點時，有平面．

理由如下：

在上取中點，連接，，

因為是棱的中點，是的中點，

所以，且，

又，且，

所以，且，

所以四邊形是平行四邊形，所以．

又平面，平面，

所以平面，

此時．