Question

【題目】如圖，在多面體中，底面是邊長為的正方形，四邊形是矩形，平面平面， ， 和分別是和的中點．

（Ⅰ）求證： 平面．

（Ⅱ）求證：平面平面．

（Ⅲ）求多面體的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）8

【解析】試題分析：（1）由面面垂直性質定理得平面，即得，而由正方形性質得，所以由線面垂直判定定理得平面．（2）設與相交于點，由三角形中位線性質易得， ，再由線面平行判定定理以及面面平行判定定理得結論（3）即求兩個四棱錐與棱錐體積之和，而AC為高，根據錐體體積公式求體積

試題解析：（Ⅰ）證明：∵在正方形中，

，

∵平面平面，

且平面平面，

在矩形中，

，

∴平面，

∴，

∵點，

、平面，

∴平面．

（Ⅱ）設與相交于點，

∵、是、中點，

∴，

又∵、是、中點，

∴，

∵點，

點，

、平面，

、平面，

∴平面平面．

（Ⅲ）將多面體分割為

棱錐與棱錐，

∵、到平面的距離均為的長度，

∴

．