Question

如圖已知橢圓的中點在原點，焦點在x軸上，長軸是短軸的2倍且過點，平行于的直線在y軸的截距為，且交橢圓與兩點，

（1）求橢圓的方程；（2）求的取值范圍；（3）求證：直線、與x軸圍成一個等腰三角形，說明理由.

Answer 1

(1)；（2）；（3）詳見解析

試題分析：直線和圓錐曲線位置關(guān)系問題，一般要將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，同時要注意其隱含條件（），得關(guān)于某一個未知數(shù)的一元二次方程，利用韋達定理建立參數(shù)的等量關(guān)系或者不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的值或者取值范圍，（1）由橢圓焦點在軸，先設橢圓標準方程為，由已知得關(guān)于 ，的方程組，解，；（2）注意條件“平行于的直線交橢圓與兩點”，設直線方程為y=x+m，與橢圓聯(lián)立，得關(guān)于的一元二次方程，，得的取值范圍（注意）；（3）只需證明斜率互為相反數(shù)先設，則,，結(jié)合韋達定理證明；
試題解析：（1）設橢圓方程為（a>b>0）
則    ∴橢圓方程；
（2）∵直線∥DM且在y軸上的截距為m，∴y=x+m
由
∵與橢圓交于A、B兩點∴△=（2m）²-4（2m²-4）>0-2<m<2（m≠0）；
（3）設直線MA、MB斜率分別為k₁,k₂，則只要證：k₁+k₂=0
設A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,則k₁=,k₂=
由x²+2mx+2m²-4=0得x₁+x₂=-2m,x₁x₂=2m²-4
而k₁+k₂=+=（*）
又y₁=x₁+m  y₂=x₂+m
∴（*）分子=（x₁+m-1）（x₂-2）+（x₂+m-1）（x₁-2）
=x₁x₂+（m-2）（x₁+x₂）-4（m-1）
=2m²-4+（m-2）（-m）-4（m-1）=0
∴k₁+k₂=0,證之.