Question

已知定點，，動點到定點距離與到定點的距離的比值是.
（Ⅰ）求動點的軌跡方程，并說明方程表示的曲線；
（Ⅱ）當時，記動點的軌跡為曲線.
①若是圓上任意一點，過作曲線的切線，切點是，求的取值范圍；
②已知，是曲線上不同的兩點，對于定點，有.試問無論，兩點的位置怎樣，直線能恒和一個定圓相切嗎？若能，求出這個定圓的方程；若不能，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ），
方程表示的曲線是以為圓心，為半徑的圓.
（Ⅱ）當時，曲線的方程是，曲線表示圓，圓心是，半徑是.
①.
②動直線與定圓相切.

試題分析：（Ⅰ）設動點的坐標為，則由，得，

整理得: .
，
當時，則方程可化為：，故方程表示的曲線是線段的垂直平分線；
當時，則方程可化為，
即方程表示的曲線是以為圓心，為半徑的圓.          5分
（Ⅱ）當時，曲線的方程是，
故曲線表示圓，圓心是，半徑是.
①由，及有：
兩圓內含，且圓在圓內部.如圖所示，由有: ,故求的取值范圍就是求的取值范圍.而是定點，是圓上的動點，故過作圓的直徑，得，，故，.          9分
②設點到直線的距離為，，
則由面積相等得到，且圓的半徑. 
即于是頂點 到動直線的距離為定值，
即動直線與定圓相切.
點評：難題，本題確定軌跡方程，利用了“直接法”，對于參數的討論，易出現遺漏現象。本題確定點到直線的距離，轉化成面積計算，不易想到。