Question

【題目】已知三棱柱中，，，點為的中點，.

（1）求證：平面；

（2）條件①：直線與平面所成的角為；

條件②：為銳角，三棱錐的體積為.

在以上兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題：

若平面平面，______，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）延長交于點，連接，證明出點為的中點，進而證明出四邊形為平行四邊形，可得出，再利用線面平行的判定定理可證明出平面；

（2）選條件①，取的中點，連接、，證明出平面，由直線與平面所成的角為，可求得，并證明出，然后以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法能計算出平面與平面所成的銳二面角的余弦值；

選條件②，取的中點，連接、，證明出平面，由三棱錐的體積為計算出，可得出，并證明出，然后以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法能計算出平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

（1）延長交于點，連接，

因為，，所以，所以，

又，所以，即為的中點，

因為為的中點，且，

所以且，則四邊形為平行四邊形，所以，

又因為平面，平面，

所以平面，即平面；

（2）選擇條件①，解答過程如下：

取的中點，連接、，

因為，，所以，所以，

所以為直角三角形，所以，且，

因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，

為與平面所成的角，，

在中，，，

因為，，，所以，所以.

如圖，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，

則，，，，

所以，，，

所以，

設平面的法向量為，則，即，

取，則，，則，

因為平面軸，所以平面的一個法向量為，

所以，

所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值；

選擇條件②，解答過程如下：

取的中點，連接、，

因為，，所以，所以，

所以為直角三角形，所以，且，

因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，

所以為三棱錐的高，

因為，

所以，所以，

因為為銳角，所以，

因為，所以為等邊三角形，所以.

如圖，以為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，

則，，，，

所以，，，

所以，

設平面的法向量為，則，即，

取，則，，則，

因為平面軸，所以平面的一個法向量為，

所以，

所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值.