Question

【題目】小明每天從家步行去學校，有兩條路線可以選擇，第一條路線，需走天橋，不用等紅燈，平均用時910秒；第二條路線，要經過兩個紅綠燈路口，如圖，A處為小明家，D處為學校，走路段需240秒，在B處有一紅綠燈，紅燈時長120秒，綠燈時長30秒，走路段需450秒，在C處也有一紅綠燈，紅燈時長100秒，綠燈時長50秒，走路段需200秒.小明進行了60天的試驗，每天都選擇第二條路線，并記錄了在B處等待紅燈的時長，經統計，60天中有48天在B處遇到紅燈，根據記錄的48天等待紅燈時長的數據繪制了下面的頻率分布直方圖.已知B處和C處的紅燈亮起的時刻恰好始終保持相同，且紅綠燈之間切換無時間間隔.

（1）若小明選擇第二條路線，設當小明到達B處的時刻為B處紅燈亮起后的第x秒（）時，小明在B處等待紅燈的時長為y秒，求y關于x的函數的解析式；

（2）若小明選擇第二條路線，請估計小明在B處遇到紅燈的概率，并問小明是否可能在B處和C處都遇到紅燈；

（3）若取區間中點作為該區間對應的等待紅燈的時長，以這兩條路線的平均用時作為決策依據，小明應選擇哪一條路線？

Answer 1

【答案】（1）；（2）估計小明在處遇到紅燈的概率為，小明不可能在處和處都遇到紅燈；（3）小明應該選擇第一條路線.

【解析】

（1）分別在和兩種情況下得到等待紅燈時長，進而得到結果；

（2）根據幾何概型概率公式計算可得所求概率；根據兩處紅綠燈的總時長均為段時長的，可判斷出不會同時遇到紅燈；

（3）利用頻率分布直方圖計算可得等待紅燈的平均時長，進而確定第二條路線的平均時長，從而確定結果.

（1）當時，小明等待紅燈時長；

當時，小明無需等待，即；

綜上所述：.

（2）估計小明在處遇到紅燈的概率.

因為小明過處的時刻一定是處紅燈亮起秒后，而和處的紅燈亮起的時刻恰好始終保持相同，且處和處紅綠燈的時長和相等，都等于小明走路段所需的時間秒的，所以小明到達處的時刻一定是處紅燈亮起秒之后，所以小明不會在處遇到紅燈，因此小明不可能在處和處都遇到紅燈.

（3）小明走第二條路線平均等待紅燈的時長為：

（秒），

小明走第二條路線平均用時為：（秒），

，小明應該選擇第一條路線.