Question

【題目】如圖，在五面體ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE= AD，

（1）求異面直線BF與DE所成的角的大小；
（2）證明平面AMD⊥平面CDE；
（3）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題設知，BF∥CE，

所以∠CED（或其補角）為異面直線BF與DE所成的角．

設P為AD的中點，連接EP，PC．

因為FE=∥AP，所以FA=∥EP，同理AB=∥PC．

又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．

而PC，AD都在平面ABCD內，

故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD設FA=a，

則EP=PC=PD=a，CD=DE=EC= ，故∠CED=60°．

所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°

（2）解：證明：因為DC=DE且M為CE的中點，

所以DM⊥CE．連接MP，則MP⊥CE．又MP∩DM=M，

故CE⊥平面AMD．而CE平面CDE，

所以平面AMD⊥平面CDE．

（3）解：解：設Q為CD的中點，連接PQ，EQ．

因為CE=DE，所以EQ⊥CD．因為PC=PD，

所以PQ⊥CD，故∠EQP為二面角A﹣CD﹣E的平面角．

可得， ．

【解析】（1）先將BF平移到CE，則∠CED（或其補角）為異面直線BF與DE所成的角，在三角形CED中求出此角即可；（2）欲證平面AMD⊥平面CDE，即證CE⊥平面AMD，根據線面垂直的判定定理可知只需證CE與平面AMD內兩相交直線垂直即可，易證DM⊥CE，MP⊥CE；（3）設Q為CD的中點，連接PQ，EQ，易證∠EQP為二面角A﹣CD﹣E的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可．