Question

【題目】已知拋物線的焦點為F，過F作兩條互相垂直的弦AB、CD，設(shè)AB、CD的中點分別為M、N。

（1）求證：直線MN必過定點；

（2）分別以AB和CD為直徑作圓，求兩圓相交弦中點H的軌跡方程。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）易知F(1,0).

設(shè)，代入，得.

易得，故.

因為CD⊥AB，所以將點M坐標(biāo)中的k換為，即得.

則，

即.

故不論k為何值，直線MN恒過定點T(3, 0).

（2）由拋物線的性質(zhì)知，都與拋物線的準(zhǔn)線x=-1相切，所以，的半徑分別為.從而，，

.

兩式相減并整理，得公共弦所在直線方程為.

又，

故公共弦所在直線過原點O.

所以，∠OHT=90°.

于是，點H的軌跡是以O(shè)T為直徑的圓(除去直徑的兩個端點)，其軌跡方程為

.