Question

【題目】現需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P—A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD—A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．

(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，則倉庫的容積是多少？

(2)若正四棱錐的側棱長為6 m，則當PO1為多少時，倉庫的容積最大？

Answer 1

【答案】（1）312；（2）當時，倉庫的容積最大

【解析】試題分析:（1）先根據錐體體積求正四棱錐體積，再根據柱體體積公式求正四棱柱體積，最后求和得倉庫的容積（2）先根據體積公式建立關于PO1三次函數關系式，再利用導數求函數最值

試題解析：(1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.因為A1B1＝AB＝6，

所以正四棱錐P—A1B1C1D1的體積V錐＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)；

正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的體積V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．

所以倉庫的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3)．

(2)設A1B1＝a m，PO1＝h m，則0<h<6，O1O＝4h.連接O1B1.

因為在Rt△PO1B1中，O1B＋PO＝PB，所以2＋h2＝36，即a2＝2(36－h2)．

于是倉庫的容積V＝V柱＋V錐＝a2·4h＋a2·h＝a2h＝ (36h－h3)，0<h<6，

從而V′＝ (36－3h2)＝26(12－h2)．

令V′＝0，得h＝2或h＝－2 (舍),當0<h<2時，V′>0，V是單調遞增函數；

當2<h<6時，V′<0，V是單調遞減函數．故h＝2時，V取得極大值，也是最大值．

因此，當PO1＝2 m時，倉庫的容積最大．