Question

已知圓，直線．
（1）判斷直線與圓C的位置關系；
（2）設與圓C交與不同兩點A、B，求弦AB的中點M的軌跡方程；
（3）若定點P（1，1）分弦AB為，求此時直線的方程．

Answer 1

（1）由題意可知，圓心C到直線的距離，所以直線與圓相交；（2）；（3）或．

試題分析：（1）相交；（2）當M與P不重合時，設，則，，從而得到的軌跡方程，當M與P重合時，也滿足上式，故弦AB中點的軌跡方程是；（3）若定點P（1，1）分弦AB為，則設，得到一個關于的方程，聯立直線和圓的方程，得到關于的一個一元二次方程，根據兩根之后得到另一個關于的方程，兩個方程聯立解得，因為是一元二次方程的一個根，代入即可求出的值，從而求出直線的方程．
試題解析：
（1）圓的圓心為，半徑為。
∴圓心C到直線的距離
∴直線與圓C相交；
（2）當M與P不重合時，連結CM、CP，則，
∴
設，則，
化簡得：
當M與P重合時，也滿足上式。
故弦AB中點的軌跡方程是．
（3）設，由得，
∴，化簡的………①
又由消去得……（*）
∴   …………②
由①②解得，帶入（*）式解得，
∴直線的方程為或．