Question

【題目】已知函數，.

（1）若，判斷的奇偶性，并說明理由；

（2）若，，求在上的最小值；

（3）若，，有三個不同實根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）奇函數；（2）0；（3）.

【解析】

（1）由判斷即可得解；

（2）由分段函數求值域問題分，，，，討論即可；

（3）由方程與函數的關系可得有三個不同實根，等價于函數與直線有三個交點，通過求函數的單調性及值域即可得解.

解：（1）當時，，

則，

故為奇函數；

（2）當時，，

又，

①當時，可得函數在為增函數，可得；

②當時，可得函數在為增函數，在為減函數，

由，

可得當時，，即；

當時，，即；

③當時，由，可得；

綜上可得：當時，函數在上的最小值為；

當時，函數在上的最小值為；

當時，函數在上的最小值為；

當時，函數在上的最小值為即；

（3）因為，且有三個不同實根，

則函數不單調，且，

因為，又，，

所以當時，函數為增函數，則時，函數不單調，要使函數有三個不同實根，則，即，即，

故，

故的取值范圍為：.