Question

設矩陣M=（

1 2 4 3

）．
（Ⅰ）已知曲線C₁：y-x+1=0在矩陣M^-1對應變換作用下得到曲線C₂，求曲線C₂的方程； 
（Ⅱ）已知

α

=（

5 4

），計算M³

α

的值．

Answer 1

考點：幾種特殊的矩陣變換

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（Ⅰ）求出MM^-1，設P（x₀，y₀）是曲線C₁：y-x+1=0上任意一點，則點P（x₀，y₀）在矩陣MM^-1對應的變換下變為點P′（x，y），根據矩陣變換確定坐標之間的關系，即可求曲線C₂的方程； 
（Ⅱ）求出特征值，特征向量，即可計算M³

α

的值．

解答：解：（Ⅰ）MM^-1=

- 3 5 2 5 4 5 - 1 5

設P（x₀，y₀）是曲線C₁：y-x+1=0上任意一點，則點P（x₀，y₀）在矩陣MM^-1對應的變換下變為點P′（x，y）
則有

- 3 5 x0+ 2 5 y0=x 4 5 x0- 1 5 y0=y

，∴

x0=x+2y y0=4x+3y

，
∴4x+3y-x-2y+1=0，即3x+y+1=0；
（Ⅱ）f（λ）=

.

λ-1 -2 -4 λ-3

.

=0，可得λ=-1或5，
屬于λ=-1的特征向量為

1 -1

，屬于λ=5的特征向量為

1 2

，

α

=（

5 4

）=2

1 -1

+3

1 2

，
∴M³

α

=2⁴

1 -1

+3⁴

1 2

=

100 152

．

點評：本題考查幾種特殊的矩陣變換，考查特征值，特征向量，體現了方程的數學思想．屬于基礎題．