Question

【題目】設橢圓的左、右焦點分別為，，下頂點為，為坐標原點，點到直線的距離為，為等腰直角三角形.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線與橢圓交于，兩點，若直線與直線的斜率之和為，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）利用表示出點到直線的距離；再利用和的關系得到方程，求解得到標準方程；（2）當直線斜率存在時，假設直線方程，利用斜率之和為得到與的關系，將直線方程化為，從而得到定點；當斜率不存在時，發現直線也過該定點，從而求得結果.

（1）解：由題意可知：直線的方程為，即

則

因為為等腰直角三角形，所以

又

可解得，，

所以橢圓的標準方程為

（2）證明：由（1）知

當直線的斜率存在時，設直線的方程為

代入，得

所以，即

設，，則，

因為直線與直線的斜率之和為

所以

整理得

所以直線的方程為

顯然直線經過定點

當直線的斜率不存在時，設直線的方程為

因為直線與直線的斜率之和為，設，則

所以，解得

此時直線的方程為

顯然直線也經過該定點

綜上，直線恒過點