Question

【題目】已知y=f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x+x2 ．
（1）求x＜0時，f（x）的解析式；
（2）問是否存在這樣的非負數a，b，當x∈[a，b]時，f（x）的值域為[4a﹣2，6b﹣6]？若存在，求出所有的a，b值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設x＜0，則﹣x＞0，于是f（﹣x）=﹣x+x2，

又f（x）為奇函數，f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=﹣x+x2，

即x＜0時，f（x）=x﹣x2

（2）解：假設存在這樣的數a，b．

∵a≥0，且f（x）=x+x2在x≥0時為增函數，

∴x∈[a，b]時，f（x）∈[f（a），f（b）]=[4a﹣2，6b﹣6]，

∴

，即

或 ，考慮到0≤a＜b，且4a﹣2＜6b﹣6，

可得符合條件的a，b值分別為

【解析】（1）設x＜0，則﹣x＞0，利用x≥0時，f（x）=x+x2 ． 得到f（﹣x）=﹣x+x2 ， 再由奇函數的性質得到f（﹣x）=﹣f（x），代換即可得到所求的解析式．（2）假設存在這樣的數a，b．利用函數單調性的性質建立方程求參數，若能求出，則說明存在，否則說明不存在．