Question

已知正數x，y滿足（1+x）（1+2y）=2，則4xy+

1

xy

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：通過換元，化簡函數式，利用基本不等式求出最小值．

解答：解：設m=x+1 n=2y+1 所以mn=2
x=1-m，y=

1-n

2

4xy+

1

xy

=2（m-1）（n-1）+

2

(m-1)(n-1)

=2（（mn-m-n+1）+

1

mn-m-n+1

）
=2（（3-m-n）+

1

3-m-n

）
∵m+n≥2

mn

=2

2

∴原式的最小值為12
方法二：
∵（1+x）（1+2y）=2，
∴1+x+2y+2xy=2
即x+2y=1-2xy≥2

2xy

令

2xy

=t＞則xy=

t2

2

即1-t²≥2t 則0＜t≤

2

-1，則0＜t²=2xy≤3-2

2

不妨令u=2xy∈（0，3-2

2

]
則4xy+

1

xy

=2u+

2

u

，在區間（0，3-2

2

]上單調遞減
故當u=3-2

2

時4xy+

1

xy

取最小值12
故答案為：12

點評：本題考查利用基本不等式求函數的最值，需要注意滿足的條件：一正、二定、三相等．