Question

已知點(diǎn)B（-1，0）、C（1，0），平面上的動(dòng)點(diǎn)P滿足|

CP

|•|

BC

|=

BP

•

BC

，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E．過(guò)點(diǎn)C作直線交曲線E于兩點(diǎn)M、N，G為線段MN的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作x軸的平行線與曲線E在點(diǎn)M處的切線交與點(diǎn)A．
（Ⅰ）求曲線E的方程．
（Ⅱ）試問(wèn)點(diǎn)A是否恒在一條定直線上？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用題設(shè)等式建立等式整理氣的曲線E的方程．
（Ⅱ）設(shè)出M，N的坐標(biāo)，對(duì)拋物線方程進(jìn)行求導(dǎo)，表示出點(diǎn)M處的切線AM的斜率，表示出直線AM的方程，設(shè)MN的方程與拋物線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理表示出y₁+y₂，利用直線AG∥x軸，推斷出AG的方程最后聯(lián)立求得x=2m

x1

-x₁，同時(shí)把點(diǎn)A代入拋物線和直線方程整理求得x=-1，進(jìn)而推斷出對(duì)任意的m，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)均為-1，即點(diǎn)A恒在直線x=-1上．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），由|

CP

|•|

BC

|=

BP

•

BC

得2

(x-1)2+y2

=（x+1，y）•（2，0）
整理得y²=4x，所以曲線的方程為y²=4x．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由拋物線的對(duì)稱性，不防設(shè)點(diǎn)M在x軸的上方，即y₁＞0
由y=2

x

，得y'=

1

x

，所以拋物線在點(diǎn)M處的切線AM的斜率k=

1

x1

，
所以直線AM的方程為y-y₁=

1

x1

（x-x₁）①
設(shè)直線MN的方程為x=my+1，由

x=my+1 y2=4x

得y²-4my-4=0
因?yàn)椤?16m²+16＞0，所以y₁+y₂=4m，
所以MN的中點(diǎn)G（x₀，2m）
因?yàn)橹本�AG∥x軸，所以直線AG的方程為y=2m②，
由①②求得x=2m

x1

-x₁，
因?yàn)辄c(diǎn)在曲線E和直線MN上．所以y₁²=4x，且x₁=my₁+1
所以x=my₁-x₁=-1
所以對(duì)任意的m，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)均為-1，
故點(diǎn)A恒在直線x=-1上．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與直線，直線與拋物線的位置關(guān)系和拋物線的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了運(yùn)算求解能力，推理論證能力，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)與方程的思想．