Question

已知點B（-1，0），C（1，0），P是平面上一動點，且滿足|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

．
（1）求點P的軌跡C對應的方程；
（2）已知點A（m，2）在曲線C上，過點A作曲線C的兩條弦AD，AE，且AD，AE的斜率k₁、k₂滿足k₁•k₂=2．求證：直線DE過定點，并求出這個定點．

Answer 1

分析：（1）設出P點坐標，求出

PC

，

BC

的坐標，代入滿足|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

整理即可得到點P的軌跡C對應的方程；
（2）把A的坐標代入點P的方程求出m的值，設出DE的方程，和拋物線方程聯立后得到D、E兩點橫坐標的和與積，再由兩點的斜率之積等于2得到關系式，和根與系數關系結合后可得直線DE的斜率和截距的關系，代回直線方程后利用直線系方程得到證明．

解答：（1）解：設P（x，y），代入足|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

，得

(x-1)2+y2

=1+x，化簡得y²=4x；
（2）證明：將A（m，2）代入y²=4x，得m=1，
設直線DE的方程為y=kx+b，D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
由

y=kx+b y2=4x

，得k²x²+2（kb-2）x+b²=0，
∵k_AD•k_AE=2，∴

y1-2

x1-1

•

y2-2

x2-1

=2(x1，x2≠1)，
且y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，∴(k2-2)x1x2+(kb-2k+2)(x1+x2)+(b-2)2-2=0①
將x1+x2=

-2(kb-2)

k2

，x1x2=

b2

k2

代入①得，b²=（k-2）²，∴b=±（k-2）．
將b=k-2代入y=kx+b得，y=kx+k-2=k（x+1）-2，過定點（-1，-2）．
將b=2-k代入y=kx+b得，y=kx+2-k=k（x-1）+2，過定點（1，2），不合，舍去，
∴定點為（-1，-2）．

點評：本題考查了拋物線的標準方程，考查了直線和圓錐曲線的關系，訓練了“設而不求”的解題思想方法，考查了直線系方程的運用，是有一定難度題目．