Question

設函數f(x)＝x＋ax²＋bln x，曲線y＝f(x)在點P(1,0)處的切線斜率為2.
(1)求a，b的值；
(2)證明：f(x)≤2x－2.

Answer 1

(1) (2)見解析

(1)f′(x)＝1＋2ax＋，
由題設，y＝f(x)在點P(1,0)處切線的斜率為2.
∴解之得 
因此實數a，b的值分別為－1和3.
(2)f(x)定義域(0，＋∞)，且f(x)＝x－x²＋3ln x.
設g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x²＋3ln x，
則g′(x)＝－1－2x＋＝－.?
當0＜x＜1時，g′(x)＞0；當x＞1時，g′(x)＜0.
∴g(x)在(0,1)上單調遞增；在(1，＋∞)上單調減少．
∴g(x)在x＝1處有最大值g(1)＝0
故g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.