Question

已知函數(shù)，（且）.
（1）設(shè)，令，試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；
（2）若且的定義域和值域都是，求的最大值；
（3）若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）.

試題分析：(1)本小題有兩個思考方向，其一可用單調(diào)性的定義給與證明，通過取值、作差、變形、判號、結(jié)論可完成證明；其二可用導(dǎo)數(shù)給與證明，通過求導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的正負可完成證明；(2)本小題首先判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，這樣根據(jù)函數(shù)的定義域和值域都是可得，于是把問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解，通過根與系數(shù)的關(guān)系可得的表達式，然后求最值；（3）本小題通過不等式變現(xiàn)可得，即得到不等式對恒成立,然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值得不等式組，求得參數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1）證明：
方法一：任取，
當時，，在上單調(diào)遞增；
當時，，在上單調(diào)遞減     5分
方法二：,則
當時，，在上單調(diào)遞增；
當時，，在上單調(diào)遞減           5分
（2）由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞增；因為所以在上單調(diào)遞增，
的定義域、值域都是,則,
即是方程的兩個不等的正根，
等價于方程有兩個不等的正根，
等價于且 ,則,
 
時，最大值是         10分
（3）,則不等式對恒成立，
即
即不等式,對恒成立,
令,易證在遞增，
同理遞減.

.                   15分