Question

已知橢圓的焦點坐標為F₁(－1,0)，F₂(1,0)，過F₂垂直于長軸的直線交橢圓于P，Q兩點，且|PQ|＝3.
(1)求橢圓的方程；
(2)過F₂的直線l與橢圓交于不同的兩點M，N，則△F₁MN的內切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）l的方程為x＝1.

(1)設橢圓方程為＝1(a>b>0)，
由焦點坐標可得c＝1.由|PQ|＝3，可得＝3.
又a²－b²＝1，得a＝2，b＝.故橢圓方程為.
(2)設M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，不妨令y₁>0，y₂<0，
設△F₁MN的內切圓的半徑R，
則△F₁MN的周長為4a＝8，S△F₁MN＝ (|MN|＋|F₁M|＋|F₁N|)R＝4R，
因此要使△F₁MN內切圓的面積最大，則R最大，此時S△F₁MN也最大．
S△F₁MN＝|F₁F₂||y₁－y₂|＝y₁－y₂，
由題知，直線l的斜率不為零，可設直線l的方程為x＝my＋1，
由得(3m²＋4)y²＋6my－9＝0，
得y₁＝，y₂＝，
則S△F₁MN＝y₁－y₂＝，
令t＝，則t≥1，則S△F₁MN＝.
令f(t)＝3t＋，則f′(t)＝3－，當t≥1時，f′(t)>0，
所以f(t)在[1，＋∞)上單調遞增，有f(t)≥f(1)＝4，S△F₁MN≤＝3，
當t＝1，m＝0時，S△F₁MN＝3，又S△F₁MN＝4R，∴R_max＝.
這時所求內切圓面積的最大值為π.
故△F₁MN內切圓面積的最大值為π，且此時直線l的方程為x＝1.