Question

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過右焦點作斜率為的直線交曲線于、兩點，且，又點關于原點的對稱點為點，試問、、、四點是否共圓？若共圓，求出圓心坐標和半徑；若不共圓，請說明理由.

Answer 1

(1);(2)詳見解析.

試題分析：（1）設出圓的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出，利用離心率及,求出，即可求出橢圓的標準方程；
（2）求出直線的方程，聯立直線方程與橢圓方程，設，利用
，求出坐標，又點關于原點的對稱點為點求出的坐標，推出線段的中垂線方程和，然后求出和的交點為，推出四點共圓．
試題解析：（1）由題意可得圓的方程為，
∵直線與圓相切，∴，即，        2分
又，及，得，所以橢圓方程為．     4分
（2）因直線過點，且斜率為，故有
聯立方程組，消去，得          6分
設、，可得，于是.
又，得即          8分
而點與點關于原點對稱，于是，可得點
若線段、的中垂線分別為和，，則有

聯立方程組，解得和的交點為          10分
因此，可算得

所以、、、四點共圓，且圓心坐標為半徑為    12分