Question

（本小題滿分14分）
已知動圓P（圓心為點P）過定點A（1，0），且與直線相切。記動點P的軌跡為C。
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）設過點P的直線l與曲線C相切，且與直線相交于點Q。試研究：在x軸上是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）x軸上存在定點M（1，0），使得以PQ為直徑的圓恒過點M

試題分析：（Ⅰ）因為動圓P過定點A（1，0），且與直線x=－1相切，
所以圓心P到點A（1，0）的距離與到直線x=－1的距離相等。
根據拋物線定義，知動點P的軌跡為拋物線，且方程為C：。       4分
（Ⅱ）設直線l的方程為，（易知斜率不存在的直線不符合要求）
由，消去y得，
由題意，得k≠0，且，化簡得km=1。       6分
設直線l與曲線C相切的切點P（x₀，y₀），
則
所以，
由。                                    8分
若取k=1，m=1，此時P（1，2），Q（－1，0），以PQ為直徑的圓為，交x軸于點M₁（1，0），M₂（－1，0）；
若取，此時以PQ為直徑的圓為
，交x軸于點M₃（1，0），M₄。
所以若符合條件的點M存在，則點M的坐標必為（1，0）。（即為點A）     10分
以下證明M（1，0）就是滿足條件的點。
因為M的坐標為（1，0），
所以，                                11分
從而，
故恒有,
即在x軸上存在定點M（1，0），使得以PQ為直徑的圓恒過點M。          14分
點評：第一問用定義法求動點的軌跡方程是圓錐曲線題目經常出現的類型，第二問證明動圓過定點先通過兩個特殊圓找到過的定點，進而證明此點在任意的以PQ為直徑的圓上