（本小題滿分15分）
如圖，已知橢圓
過點
，離心率為
，左、右焦點分別為
、
。點
為直線
上且不在
軸上的任意一點，直線
和
與橢圓的交點分別為
、
和
、
，
為坐標原點.
（I）求橢圓的標準方程；
（II）設直線、的斜線分別為
、
.
（i）證明：
；
（ii）問直線
上是否存在點，使得直線
、
、
、
的斜率
、
、
、
滿足
？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，說明理由.
（Ⅰ）解：因為橢圓過點（1，
），
，所以
，
，
又
， 所以
，
，
故所求橢圓方程為
（Ⅱ）（i）解：方法一：由于
、
，
、
的斜率分別為
、
，且點P不在
軸上，所以
，
，
，又直線、的方程分別為
，
，聯立方程解得
，所以P（
，
），由于點P在直線
上，所以
，因此
即
，結論成立。
方法二：設
，則
，
因為點P不在軸上，所以
又
所以
因此結論成立。
（ii）解：設
，
，
，
，
聯立直線與橢圓的方程得
，化簡得
，
因此
，
由于OA，OB的斜率存在，所以
，
，因此
，1因此
。
相似地可以得到
，
，因此
，1，
故
若
，須有
或
，
①當時，結合（i）的結論，可得
，所以解得點P的坐標為（0,2）；
②當時，結合（i）的結論，解得
或
（此時
，不滿足
，舍去），此時直線CD的方程為
，聯立方程得
，
。
因此P（
）。
綜上所述，滿足條件的點P的坐標分別為（0,2），（）。
科目：高中數學 來源：2012-2013學年福建省高三上學期期中理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
（本小題滿分15分）
已知函數
（Ⅰ）求函數
的單調區間；
（Ⅱ）若
，試分別解答以下兩小題.
（ⅰ）若不等式
對任意的
恒成立，求實數
的取值范圍；
（ⅱ）若
是兩個不相等的正數，且
，求證：
．
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年浙江省高三下學期3月聯考理科數學 題型：解答題
(本小題滿分15分)．
已知
、
分別為橢圓
：
的
上、下焦點，其中也是拋物線
：
的焦點，
點
是與在第二象限的交點，且
。
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知點P（1，3）和圓
：
，過點P的動直線
與圓相交于不同的兩點A，B，在線段AB取一點Q，滿足：
，
（
且
）。求證：點Q總在某定直線上。
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科目：高中數學 來源：2010-2011學年浙江省高三上學期第三次月考數學文卷 題型：解答題
(本小題滿分15分)
如圖已知，橢圓
的左、右焦點分別為
、
，過的直線
與橢圓相交于A、B兩點。
（Ⅰ）若
，且
，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若
求
的最大值和最小值。
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科目：高中數學 來源：2014屆浙江省寧波市高一上學期期末考試數學 題型：解答題
（本小題滿分15分）若函數
在定義域內存在區間
，滿足在上的值域為，則稱這樣的函數為“優美函數”.
（Ⅰ）判斷函數
是否為“優美函數”？若是，求出
；若不是，說明理由；
（Ⅱ）若函數
為“優美函數”，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源：2010-2011年江蘇省高二下學期期中考試理數 題型：解答題
（本小題滿分15分）在5道題中有3道理科題和2道文科題，如果不放回地依次抽取2道題．求：
（1）第1次抽到理科題的概率；
（2）第1次和第2次都抽到理科題的概率；
（3）在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到文科題的概率
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