Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB=1，P為△ABC內一點，過點P分別引三邊的平行線，與各邊圍成以P為頂點的三個三角形（圖中陰影部分），則這三個三角形的面積和的最小值為（　　）

• A、

  1

  9

• B、

  1

  8

• C、

  1

  6

• D、

  1

  3

Answer 1

考點：根據實際問題選擇函數類型,平行線分線段成比例定理

專題：計算題,不等式的解法及應用

分析：設陰影部分的直角邊長分別為x，y，z，則x+y+z=1，三個三角形的面積和為

1

2

（x²+y²+z²），利用基本不等式，即可得出結論．

解答： 解：設陰影部分的直角邊長分別為x，y，z，則x+y+z=1，
三個三角形的面積和為

1

2

（x²+y²+z²），
∵（x+y+z）²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz≤3（x²+y²+z²），
∴x²+y²+z²≥

1

3

，
∴

1

2

（x²+y²+z²）≥

1

6

，
∴三個三角形的面積和的最小值為

1

6

，
故選：C．

點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，考查基本不等式的運用，確定陰影部分的直角邊長之和為1是關鍵．